AMC10 2007 B

AMC10 2007 B · Q21

AMC10 2007 B · Q21. It mainly tests Triangles (properties), Similarity.

Right $\triangle ABC$ has $AB = 3$, $BC = 4$, and $AC = 5$. Square $XYZW$ is inscribed in $\triangle ABC$ with $X$ and $Y$ on $AC$, $W$ on $AB$, and $Z$ on $BC$. What is the side length of the square?

直角 $\triangle ABC$ 有 $AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$。正方形 $XYZW$ 铭刻在 $\triangle ABC$ 中，其中 $X$ 和 $Y$ 在 $AC$ 上，$W$ 在 $AB$ 上，$Z$ 在 $BC$ 上。正方形的边长是多少？

(A) $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$

(B) $\frac{60}{37}$ $\frac{60}{37}$

(D) $\frac{23}{13}$ $\frac{23}{13}$

(E) 2 2

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): Let $s$ be the side length of the square, and let $h$ be the length of the altitude of $\triangle ABC$ from $B$. Because $\triangle ABC$ and $\triangle WBZ$ are similar, it follows that $$ \frac{h-s}{s}=\frac{h}{AC}=\frac{h}{5},\ \text{so}\ s=\frac{5h}{5+h}. $$ Because $h=3\cdot 4/5=12/5$, the side length of the square is $$ s=\frac{5(12/5)}{5+12/5}=\frac{60}{37}. $$

答案（B）：设 $s$ 为正方形的边长，设 $h$ 为从 $B$ 向 $\triangle ABC$ 作高的长度。因为 $\triangle ABC$ 与 $\triangle WBZ$ 相似，所以 $$ \frac{h-s}{s}=\frac{h}{AC}=\frac{h}{5},\ \text{因此}\ s=\frac{5h}{5+h}. $$ 因为 $h=3\cdot 4/5=12/5$，正方形的边长为 $$ s=\frac{5(12/5)}{5+12/5}=\frac{60}{37}. $$

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