AMC10 2006 B

AMC10 2006 B · Q11

AMC10 2006 B · Q11. It mainly tests Divisibility & factors, Perfect squares & cubes.

What is the tens digit in the sum $7! + 8! + 9! + \dots + 2006!$?

求和 $7! + 8! + 9! + \dots + 2006!$ 的十位数字是多少？

(A) 1 1

(B) 3 3

(D) 6 6

(E) 9 9

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Since $n!$ contains the product $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ whenever $n \ge 10$, it suffices to determine the tens digit of $$7! + 8! + 9! = 7!(1 + 8 + 8 \cdot 9) = 5040(1 + 8 + 72) = 5040 \cdot 81.$$ This is the same as the units digit of $4 \cdot 1$, which is $4$.

因为当 $n \ge 10$ 时，$n!$ 包含因子 $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ 的乘积，因此只需确定 $7! + 8! + 9!$ 的十位数字： $$7! + 8! + 9! = 7!(1 + 8 + 8 \cdot 9) = 5040(1 + 8 + 72) = 5040 \cdot 81。$$ 这等价于 $4 \cdot 1$ 的个位数字，即 $4$。

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