AMC10 2005 B

AMC10 2005 B · Q16

AMC10 2005 B · Q16. It mainly tests Quadratic equations, Vieta / quadratic relationships (basic).

The quadratic equation $x^2 + mx + n = 0$ has roots that are twice those of $x^2 + px + m = 0$, and none of $m$, $n$, and $p$ is zero. What is the value of $n/p$?

二次方程 $x^2 + mx + n = 0$ 的根是 $x^2 + px + m = 0$ 的根的两倍，且 $m$、$n$ 和 $p$ 均不为零。$n/p$ 的值是多少？

(A) 1 1

(B) 2 2

(D) 8 8

(E) 16 16

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

(D) Let $r_1$ and $r_2$ be the roots of $x^2+px+m=0$. Since the roots of $x^2+mx+n=0$ are $2r_1$ and $2r_2$, we have the following relationships: \[ m=r_1r_2,\quad n=4r_1r_2,\quad p=-(r_1+r_2),\quad \text{and}\quad m=-2(r_1+r_2). \] So \[ n=4m,\quad p=\frac{1}{2}m,\quad \text{and}\quad \frac{n}{p}=\frac{4m}{\frac{1}{2}m}=8. \]

（D）设 $r_1$ 和 $r_2$ 为方程 $x^2+px+m=0$ 的根。由于方程 $x^2+mx+n=0$ 的根为 $2r_1$ 和 $2r_2$，我们有如下关系： \[ m=r_1r_2,\quad n=4r_1r_2,\quad p=-(r_1+r_2),\quad \text{且}\quad m=-2(r_1+r_2)。 \] 因此 \[ n=4m,\quad p=\frac{1}{2}m,\quad \text{并且}\quad \frac{n}{p}=\frac{4m}{\frac{1}{2}m}=8。 \]

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