AMC10 2003 B

AMC10 2003 B · Q18

AMC10 2003 B · Q18. It mainly tests Divisibility & factors, Parity (odd/even).

What is the largest integer that is a divisor of $(n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$ for all positive even integers $n$?

对于所有正偶数$n$，什么最大的整数能整除$(n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$？

(A) 3 3

(B) 5 5

(D) 15 15

(E) 165 165

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

(D) Among five consecutive odd numbers, at least one is divisible by 3 and exactly one is divisible by 5, so the product is always divisible by 15. The cases $n = 2$, $n = 10$, and $n = 12$ demonstrate that no larger common divisor is possible, since 15 is the greatest common divisor of $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$, $11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19$, and $13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 21$.

(D) 在五个连续的奇数中，至少有一个能被 3 整除，并且恰好有一个能被 5 整除，因此它们的乘积总能被 15 整除。取 $n = 2$、$n = 10$、$n = 12$ 的情形可说明不可能有更大的公因数，因为 15 是 $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$、$11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19$ 和 $13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 21$ 的最大公因数。

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