AMC10 2002 B

AMC10 2002 B · Q22

AMC10 2002 B · Q22. It mainly tests Triangles (properties), Similarity.

Let $\triangle XOY$ be a right-angled triangle with $\angle XOY = 90^\circ$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of legs $OX$ and $OY$, respectively. Given that $XN = 19$ and $YM = 22$, find $XY$.

设 $\triangle XOY$ 为直角三角形，$\angle XOY = 90^\circ$。$M$ 和 $N$ 分别为腿 $OX$ 和 $OY$ 的中点。已知 $XN = 19$ 和 $YM = 22$，求 $XY$。

(A) 24 24

(B) 26 26

(D) 30 30

(E) 32 32

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

(B) Let $OM=a$ and $ON=b$. Then \[ 19^2=(2a)^2+b^2 \quad \text{and} \quad 22^2=a^2+(2b)^2. \] Hence \[ 5(a^2+b^2)=19^2+22^2=845. \] It follows that \[ MN=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{169}=13. \] Since $\triangle XOY$ is similar to $\triangle MON$ and $XO=2\cdot MO$, we have $XY=2\cdot MN=26$. \[ h=\sqrt{5^2-\left(\frac{25}{13}\right)^2}=5\sqrt{1-\frac{25}{169}}=5\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{60}{13}. \]

（B）设 $OM=a$，$ON=b$。则 \[ 19^2=(2a)^2+b^2 \quad \text{且} \quad 22^2=a^2+(2b)^2。 \] 因此 \[ 5(a^2+b^2)=19^2+22^2=845。 \] 从而 \[ MN=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{169}=13。 \] 由于 $\triangle XOY$ 与 $\triangle MON$ 相似，且 $XO=2\cdot MO$，所以 $XY=2\cdot MN=26$。 \[ h=\sqrt{5^2-\left(\frac{25}{13}\right)^2}=5\sqrt{1-\frac{25}{169}}=5\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{60}{13}。 \]

Topics