AMC10 2002 B

AMC10 2002 B · Q20

AMC10 2002 B · Q20. It mainly tests Systems of equations, Manipulating equations.

Let $a$, $b$, and $c$ be real numbers such that $a -7b + 8c = 4$ and $8a + 4b -c = 7$. Then $a^2 - b^2 + c^2$ is

设 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数，使得 $a -7b + 8c = 4$ 和 $8a + 4b -c = 7$。则 $a^2 - b^2 + c^2$ 是

(A) 0 0

(B) 1 1

(D) 7 7

(E) 8 8

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

(B) We have $a+8c=4+7b$ and $8a-c=7-4b$. Squaring both equations and adding the results yields $$(a+8c)^2+(8a-c)^2=(4+7b)^2+(7-4b)^2.$$ Expanding gives $65(a^2+c^2)=65(1+b^2)$. So $a^2+c^2=1+b^2$, and $a^2-b^2+c^2=1$.

（B）我们有 $a+8c=4+7b$ 和 $8a-c=7-4b$。将两式分别平方并把结果相加得到 $$(a+8c)^2+(8a-c)^2=(4+7b)^2+(7-4b)^2.$$ 展开可得 $65(a^2+c^2)=65(1+b^2)$。因此 $a^2+c^2=1+b^2$，并且 $a^2-b^2+c^2=1$。

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