AMC10 2002 B

AMC10 2002 B · Q16

AMC10 2002 B · Q16. It mainly tests Quadratic equations, Divisibility & factors.

For how many integers $n$ is $\frac{n}{20-n}$ the square of an integer?

有几个整数 $n$ 使得 $\frac{n}{20-n}$ 是一个整数的平方？

(A) 1 1

(B) 2 2

(D) 4 4

(E) 10 10

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

(D) If $\frac{n}{20-n}=k^2$, for some $k\ge 0$, then $n=\frac{20k^2}{k^2+1}$. Since $k^2$ and $k^2+1$ have no common factors and $n$ is an integer, $k^2+1$ must be a factor of 20. This occurs only when $k=0,1,2,$ or $3$. The corresponding values of $n$ are 0, 10, 16, and 18.

(D) 若对某个 $k\ge 0$ 有 $\frac{n}{20-n}=k^2$，则 $n=\frac{20k^2}{k^2+1}$。由于 $k^2$ 与 $k^2+1$ 互质且 $n$ 为整数，因此 $k^2+1$ 必须是 20 的因数。这只在 $k=0,1,2$ 或 $3$ 时发生。对应的 $n$ 值为 0、10、16 和 18。

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