AMC8 2024

AMC8 2024 · Q15

AMC8 2024 · Q15. It mainly tests Linear equations, Primes & prime factorization.

Let the letters $F$,$L$,$Y$,$B$,$U$,$G$ represent distinct digits. Suppose $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}$ is the greatest number that satisfies the equation \[8\cdot\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}=\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}~\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}.\] What is the value of $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}+\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}$?

设字母 $F$、$L$、$Y$、$B$、$U$、$G$ 表示不同的数字。假设 $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}$ 是满足方程的最大数 \[8\cdot\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}~\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}=\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}~\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}.\] 求 $\underline{F}~\underline{L}~\underline{Y}+\underline{B}~\underline{U}~\underline{G}$ 的值？

(A) \ 1089 \ 1089

(B) \ 1098 \ 1098

(D) \ 1116 \ 1116

(E) \ 1125 \ 1125

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Let $\overline{FLY}$ be the $3$-digit number $100F+10L+Y$. Repeating a $3$-digit block twice gives \[\overline{FLYFLY}=1000\cdot \overline{FLY}+\overline{FLY}=1001\cdot \overline{FLY}.\] Similarly, \[\overline{BUGBUG}=1001\cdot \overline{BUG}.\] Given $8\cdot \overline{FLYFLY}=\overline{BUGBUG}$, substitute: \[8(1001\overline{FLY})=1001\overline{BUG}.\] Divide by $1001$: \[8\overline{FLY}=\overline{BUG}.\] Since $\overline{BUG}$ is a $3$-digit number, \[100\le 8\overline{FLY}\le 999 \quad\Rightarrow\quad 13\le \overline{FLY}\le 124.\] To maximize $\overline{FLYFLY}$, maximize $\overline{FLY}$. Try the largest possible value: \[\overline{FLY}=123 \quad\Rightarrow\quad \overline{BUG}=8\cdot 123=984.\] The digits $\{1,2,3,9,8,4\}$ are all distinct, so this works and is maximal. Therefore, \[\overline{FLY}+\overline{BUG}=123+984=1107.\] \[\boxed{1107}\]

设 $\overline{FLY}$ 为三-digit数 $100F+10L+Y$。重复三-digit块两次得 \[\overline{FLYFLY}=1000\cdot \overline{FLY}+\overline{FLY}=1001\cdot \overline{FLY}.\] 类似地， \[\overline{BUGBUG}=1001\cdot \overline{BUG}.\] 给定 $8\cdot \overline{FLYFLY}=\overline{BUGBUG}$，代入： \[8(1001\overline{FLY})=1001\overline{BUG}.\] 除以 $1001$： \[8\overline{FLY}=\overline{BUG}.\] 由于 $\overline{BUG}$ 是三位数， \[100\le 8\overline{FLY}\le 999 \quad\Rightarrow\quad 13\le \overline{FLY}\le 124.\] 要最大化 $\overline{FLYFLY}$，最大化 $\overline{FLY}$。试最大可能值： \[\overline{FLY}=123 \quad\Rightarrow\quad \overline{BUG}=8\cdot 123=984.\] 数字 $\{1,2,3,9,8,4\}$ 均不同，成立且最大。因此， \[\overline{FLY}+\overline{BUG}=123+984=1107.\] \[\boxed{1107}\]

Topics