AMC8 2018

AMC8 2018 · Q14

AMC8 2018 · Q14. It mainly tests Divisibility & factors, Primes & prime factorization.

Let $N$ be the greatest five-digit number whose digits have a product of 120. What is the sum of the digits of $N$?

设 $N$ 是各位数字乘积为120的最大五位数。$N$ 的各位数字之和是多少？

(A) 15 15

(B) 16 16

(D) 18 18

(E) 20 20

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The leftmost digit of $N$ must be the greatest single-digit factor of $120=2^3\cdot3\cdot5$. Note that $2^3=8$ is a factor of $120$, but $9$ is not, hence the leftmost digit of $N$ must be $8$. Because $5\cdot3=15$ cannot be a digit, it follows that $5$ must be immediately to the right of the $8$, and $3$ must be immediately to the right of the $5$. The remaining rightmost two digits of $N$ must be $1$, so that $N=85311$. Thus the sum of the digits of $N$ is $18$.

答案（D）：$N$ 的最左边一位必须是 $120=2^3\cdot3\cdot5$ 的最大一位数因子。注意 $2^3=8$ 是 $120$ 的因子，但 $9$ 不是，因此 $N$ 的最左一位必须是 $8$。由于 $5\cdot3=15$ 不能作为一位数字，所以 $5$ 必须紧挨在 $8$ 的右边，而 $3$ 必须紧挨在 $5$ 的右边。剩下最右边两位必须是 $1$，因此 $N=85311$。所以 $N$ 的各位数字之和为 $18$。

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