AMC8 2017

AMC8 2017 · Q19

AMC8 2017 · Q19. It mainly tests Primes & prime factorization.

For any positive integer M, the notation M! denotes the product of the integers 1 through M. What is the highest power n of 5 for which $5^n$ is a factor of the sum 98! + 99! + 100!?

对于任意正整数M，记M!为1到M的乘积。求5的最高幂次n，使得$5^n$整除98! + 99! + 100!之和？

(A) 23 23

(B) 24 24

(D) 26 26

(E) 27 27

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Factoring yields $98!+99!+100!=98!(1+99+100\cdot 99)=98!(100+100\cdot 99)= 98!\cdot 100(1+99)=98!\cdot 100^2$. The exponent of 5 in $98!$ is $19+3=22$, one for each multiple of 5 and one more for each multiple of 25. Thus the exponent of 5 in the product is $22+4=26$ as $100^2=2^4\cdot 5^4$.

答案 (D)：因式分解得到： $98!+99!+100!=98!(1+99+100\cdot 99)=98!(100+100\cdot 99)= 98!\cdot 100(1+99)=98!\cdot 100^2$。 $98!$ 中 5 的指数是 $19+3=22$，其中每个 5 的倍数贡献一个，且每个 25 的倍数再多贡献一个。因此乘积中 5 的指数是 $22+4=26$，因为 $100^2=2^4\cdot 5^4$。

Topics

NT.002 Primes & prime factorization