AMC8 2009

AMC8 2009 · Q16

AMC8 2009 · Q16. It mainly tests Permutations, Primes & prime factorization.

How many 3-digit positive integers have digits whose product equals 24?

有多少个3位正整数，其各位数字的乘积等于24？

(A) 12 12

(B) 15 15

(D) 21 21

(E) 24 24

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The possible ways of expressing 24 as a product of 3 digits are $(1\cdot 3\cdot 8)$, $(1\cdot 4\cdot 6)$, $(2\cdot 3\cdot 4)$ and $(2\cdot 2\cdot 6)$. From the first product, the six integers 138, 183, 318, 381, 813 and 831 can be formed. Similarly, six integers can be formed from each of the products $(1\cdot 4\cdot 6)$ and $(2\cdot 3\cdot 4)$. From the product $(2\cdot 2\cdot 6)$, the three integers 226, 262 and 622 can be formed. The total number of integers whose digits have a product of 24 is $6+6+6+3=21$.

答案（D）：把 24 表示为 3 个数字乘积的可能方式是 $(1\cdot 3\cdot 8)$、$(1\cdot 4\cdot 6)$、$(2\cdot 3\cdot 4)$ 和 $(2\cdot 2\cdot 6)$。由第一个乘积可以组成 6 个整数：138、183、318、381、813 和 831。同样地，由乘积 $(1\cdot 4\cdot 6)$ 和 $(2\cdot 3\cdot 4)$ 各可以组成 6 个整数。由乘积 $(2\cdot 2\cdot 6)$ 可以组成 3 个整数：226、262 和 622。数字乘积为 24 的整数总数为 $6+6+6+3=21$。

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