AMC12 2024 B

AMC12 2024 B · Q15

AMC12 2024 B · Q15. It mainly tests Logarithms (rare), Coordinate geometry.

A triangle in the coordinate plane has vertices $A(\log_21,\log_22)$, $B(\log_23,\log_24)$, and $C(\log_27,\log_28)$. What is the area of $\triangle ABC$?

坐标平面上有一个三角形，其顶点为 $A(\log_21,\log_22)$、$B(\log_23,\log_24)$ 和 $C(\log_27,\log_28)$。$\triangle ABC$ 的面积是多少？

(A) \log_2\frac{\sqrt3}7 \log_2\frac{\sqrt3}7

(B) \log_2\frac3{\sqrt7} \log_2\frac3{\sqrt7}

(D) \log_2\frac{11}{\sqrt7} \log_2\frac{11}{\sqrt7}

(E) \log_2\frac{11}{\sqrt3}\qquad \log_2\frac{11}{\sqrt3}\qquad

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

We rewrite: $A(0,1)$ $B(\log _{2} 3, 2)$ $C(\log _{2} 7, 3)$. From here we setup Shoelace Theorem and obtain: $\frac{1}{2}(2(\log _{2} 3) - log _{2} 7)$. Following log properties and simplifying gives $\boxed{\textbf{(B) }\log_2 \frac{3}{\sqrt{7}}}$.

我们改写为： $A(0,1)$ $B(\log _{2} 3, 2)$ $C(\log _{2} 7, 3)$。在此基础上使用鞋带公式，得到： $\frac{1}{2}(2(\log _{2} 3) - \log _{2} 7)$。根据对数性质并化简，得到 $\boxed{\textbf{(B) }\log_2 \frac{3}{\sqrt{7}}}$。

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