AMC12 2024 A

AMC12 2024 A · Q15

AMC12 2024 A · Q15. It mainly tests Quadratic equations, Complex numbers (rare).

The roots of $x^3 + 2x^2 - x + 3$ are $p, q,$ and $r.$ What is the value of \[(p^2 + 4)(q^2 + 4)(r^2 + 4)?\]

方程 $x^3 + 2x^2 - x + 3$ 的根为 $p, q,$ 和 $r$。$(p^2 + 4)(q^2 + 4)(r^2 + 4)$ 的值是多少？

(A) 64 64

(B) 75 75

(D) 125 125

(E) 144 144

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

You can factor $(p^2 + 4)(q^2 + 4)(r^2 + 4)$ as $(p+2i)(p-2i)(q+2i)(q-2i)(r+2i)(r-2i)$. For any polynomial $f(x)$, you can create a new polynomial $f(x+a)$, which will have roots that instead have the value $a$ subtracted. Substituting $x-2i$ and $x+2i$ into $x$ for the first polynomial, gives you $10i-5$ and $-10i-5$ as $c$ for both equations. Multiplying $10i-5$ and $-10i-5$ together gives you $\boxed{\textbf{(D) }125}$.

可以将 $(p^2 + 4)(q^2 + 4)(r^2 + 4)$ 分解为 $(p+2i)(p-2i)(q+2i)(q-2i)(r+2i)(r-2i)$。对于任意多项式 $f(x)$，可以构造新多项式 $f(x+a)$，其根将减去 $a$。将 $x-2i$ 和 $x+2i$ 代入原多项式，得到 $10i-5$ 和 $-10i-5$。将 $10i-5$ 和 $-10i-5$ 相乘得到 $\boxed{\textbf{(D) }125}$。

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