AMC12 2023 A

AMC12 2023 A · Q4

AMC12 2023 A · Q4. It mainly tests Primes & prime factorization, Base representation.

How many digits are in the base-ten representation of $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$?

$8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ 的十进制表示中有多少位数字？

(A) 14 14

(B) 15 15

(D) 17 17

(E) 18 18

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Prime factorizing this gives us $2^{15}\cdot3^{5}\cdot5^{15}=10^{15}\cdot3^5=243\cdot10^{15}$. $10^{15}$ has $16$ digits and $243$ = $2.43*10^{2}$ gives us $3$ more digits. $16+2=\text{\boxed{\textbf{(E) }18}}$ $2.43*10^{17}$ has $18$ digits

质因数分解得 $2^{15}\cdot3^{5}\cdot5^{15}=10^{15}\cdot3^5=243\cdot10^{15}$。 $10^{15}$ 有 $16$ 位数字，$243 = 2.43*10^{2}$ 增加 $3$ 位数字。$16+2=\text{\boxed{\textbf{(E) }18}}$ $2.43*10^{17}$ 有 $18$ 位数字

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