AMC12 2023 A

AMC12 2023 A · Q10

AMC12 2023 A · Q10. It mainly tests Quadratic equations, Exponents & radicals.

Positive real numbers $x$ and $y$ satisfy $y^3=x^2$ and $(y-x)^2=4y^2$. What is $x+y$?

正实数 $x$ 和 $y$ 满足 $y^3=x^2$ 和 $(y-x)^2=4y^2$。$x+y$ 等于多少？

(A) 12 12

(B) 18 18

(D) 36 36

(E) 42 42

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Because $y^3=x^2$, set $x=a^3$, $y=a^2$ ($a\neq 0$). Put them in $(y-x)^2=4y^2$ we get $(a^2(a-1))^2=4a^4$ which implies $a^2-2a+1=4$. Solve the equation to get $a=3$ or $-1$. Since $x$ and $y$ are positive, $a=3$ and $x+y=3^3+3^2=\boxed{\textbf{(D)} 36}$.

因为 $y^3=x^2$，设 $x=a^3$，$y=a^2$ ($a\neq 0$)。将它们代入 $(y-x)^2=4y^2$，得到 $(a^2(a-1))^2=4a^4$，从而 $a^2-2a+1=4$。解方程得到 $a=3$ 或 $-1$。由于 $x$ 和 $y$ 为正，$a=3$，$x+y=3^3+3^2=\boxed{\textbf{(D)} 36}$。

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