AMC12 2021 B

AMC12 2021 B · Q13

AMC12 2021 B · Q13. It mainly tests Algebra misc, Trigonometry (basic).

How many values of $\theta$ in the interval $0<\theta\le 2\pi$ satisfy \[1-3\sin\theta+5\cos3\theta = 0?\]

区间 $0<\theta\le 2\pi$ 内有多少个 $\theta$ 满足 \[1-3\sin\theta+5\cos3\theta = 0?\]

(A) 2 2

(B) 4 4

(D) 6 6

(E) 8 8

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

We rearrange to get \[5\cos3\theta = 3\sin\theta-1.\] We can graph two functions in this case: $y=5\cos{3x}$ and $y=3\sin{x} -1$. Using transformation of functions, we know that $5\cos{3x}$ is just a cosine function with amplitude $5$ and period $\frac{2\pi}{3}$. Similarly, $3\sin{x} -1$ is just a sine function with amplitude $3$ and shifted $1$ unit downward: So, we have $\boxed{\textbf{(D) }6}$ solutions.

重排得 \[5\cos3\theta = 3\sin\theta-1.\] 我们可以绘制两个函数：$y=5\cos{3x}$ 和 $y=3\sin{x} -1$。利用函数变换，我们知道 $5\cos{3x}$ 是振幅为 $5$、周期为 $\frac{2\pi}{3}$ 的余弦函数。类似地，$3\sin{x} -1$ 是振幅为 $3$、向下平移 $1$ 单位的正弦函数：因此有 $\boxed{\textbf{(D) }6}$ 个解。

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