AMC12 2021 A

AMC12 2021 A · Q13

AMC12 2021 A · Q13. It mainly tests Complex numbers (rare), Trigonometry (basic).

Of the following complex numbers $z$, which one has the property that $z^5$ has the greatest real part?

下列复数$z$中，哪一个使得$z^5$的实部最大？

(A) {-}2 {-}2

(B) {-}\sqrt3+i {-}\sqrt3+i

(D) {-}1+\sqrt3 i {-}1+\sqrt3 i

(E) 2i 2i

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

First, $\textbf{(B)}$ is $2\text{cis}(150)$, $\textbf{(C)}$ is $2\text{cis}(135)$, $\textbf{(D)}$ is $2\text{cis}(120)$. Taking the real part of the $5$th power of each we have: $\textbf{(A): }(-2)^5=-32$ $\textbf{(B): }32\cos(750)=32\cos(30)=16\sqrt{3}$ $\textbf{(C): }32\cos(675)=32\cos(-45)=16\sqrt{2}$ $\textbf{(D): }32\cos(600)=32\cos(240)<0$ $\textbf{(E): }(2i)^5=32i$, whose real part is $0$ Thus, the answer is $\boxed{\textbf{(B) }{-}\sqrt3+i}$.

首先，$\textbf{(B)}$ 是 $2\text{cis}(150)$，$\textbf{(C)}$ 是 $2\text{cis}(135)$，$\textbf{(D)}$ 是 $2\text{cis}(120)$。计算每个的$5$次幂的实部： $\textbf{(A): }(-2)^5=-32$ $\textbf{(B): }32\cos(750)=32\cos(30)=16\sqrt{3}$ $\textbf{(C): }32\cos(675)=32\cos(-45)=16\sqrt{2}$ $\textbf{(D): }32\cos(600)=32\cos(240)<0$ $\textbf{(E): }(2i)^5=32i$，其实部为$0$ 因此，答案是$\boxed{\textbf{(B) }{-}\sqrt3+i}$。

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