AMC12 2016 B

AMC12 2016 B · Q10

AMC12 2016 B · Q10. It mainly tests Vieta / quadratic relationships (basic), Coordinate geometry.

A quadrilateral has vertices $P(a,b)$, $Q(b,a)$, $R(-a,-b)$, and $S(-b,-a)$, where $a$ and $b$ are integers with $a>b>0$. The area of $PQRS$ is $16$. What is $a+b$?

一个四边形的顶点为 $P(a,b)$、$Q(b,a)$、$R(-a,-b)$ 和 $S(-b,-a)$，其中 $a$ 和 $b$ 是整数且满足 $a>b>0$。四边形 $PQRS$ 的面积为 $16$。求 $a+b$。

(A) 4 4

(B) 5 5

(D) 12 12

(E) 13 13

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): The slopes of $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ are $-1$, and the slopes of $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ are $1$, so the figure is a rectangle. The side lengths are $PQ=(a-b)\sqrt{2}$ and $PS=(a+b)\sqrt{2}$, so the area is $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)=16$. Therefore $a^2-b^2=8$. The only perfect squares whose difference is $8$ are $9$ and $1$, so $a=3$, $b=1$, and $a+b=4$.

答案（A）：$\overline{PQ}$ 和 $\overline{RS}$ 的斜率为 $-1$，而 $\overline{QR}$ 和 $\overline{PS}$ 的斜率为 $1$，因此该图形是一个矩形。边长为 $PQ=(a-b)\sqrt{2}$ 且 $PS=(a+b)\sqrt{2}$，所以面积为 $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)=16$。因此 $a^2-b^2=8$。差为 $8$ 的完全平方数只有 $9$ 和 $1$，所以 $a=3$，$b=1$，并且 $a+b=4$。

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