AMC12 2014 B

AMC12 2014 B · Q16

AMC12 2014 B · Q16. It mainly tests Polynomials, Manipulating equations.

Let $P$ be a cubic polynomial with $P(0) = k$, $P(1) = 2k$, and $P(-1) = 3k$. What is $P(2) + P(-2)$?

设 $P$ 是一个三次多项式，满足 $P(0) = k$，$P(1) = 2k$，且 $P(-1) = 3k$。求 $P(2) + P(-2)$。

(A) 0 0

(B) $k$ $k$

(D) 7$k$ 7$k$

(E) 14$k$ 14$k$

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Answer (E): Because $P(0)=k$, it follows that $P(x)=ax^3+bx^2+cx+k$. Thus $P(1)=a+b+c+k=2k$ and $P(-1)=-a+b-c+k=3k$. Adding these equations gives $2b=3k$. Hence $$ P(2)+P(-2)=(8a+4b+2c+k)+(-8a+4b-2c+k) =8b+2k=12k+2k=14k. $$

答案（E）：因为 $P(0)=k$，所以 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+k$。因此 $P(1)=a+b+c+k=2k$，且 $P(-1)=-a+b-c+k=3k$。将这两个等式相加得 $2b=3k$。因此 $$ P(2)+P(-2)=(8a+4b+2c+k)+(-8a+4b-2c+k) =8b+2k=12k+2k=14k。 $$

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