AMC12 2014 A

AMC12 2014 A · Q14

AMC12 2014 A · Q14. It mainly tests Sequences & recursion (algebra), Vieta / quadratic relationships (basic).

Let $a<b<c$ be three integers such that $a,b,c$ is an arithmetic progression and $a,c,b$ is a geometric progression. What is the smallest possible value of $c$?

设 $a<b<c$ 是三个整数，使得 $a,b,c$ 是等差数列，且 $a,c,b$ 是等比数列。$c$ 的最小可能值是多少？

(A) -2 -2

(B) 1 1

(D) 4 4

(E) 6\qquad 6\qquad

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

We have $b-a=c-b$, so $a=2b-c$. Since $a,c,b$ is geometric, $c^2=ab=(2b-c)b \Rightarrow 2b^2-bc-c^2=(2b+c)(b-c)=0$. Since $a<b<c$, we can't have $b=c$ and thus $c=-2b$. Then our arithmetic progression is $4b,b,-2b$. Since $4b < b < -2b$, $b < 0$. The smallest possible value of $c=-2b$ is $(-2)(-1)=2$, or $\boxed{\textbf{(C)}}$.

我们有 $b-a=c-b$，所以 $a=2b-c$。由于 $a,c,b$ 是等比的，$c^2=ab=(2b-c)b \Rightarrow 2b^2-bc-c^2=(2b+c)(b-c)=0$。由于 $a<b<c$，我们不能有 $b=c$，因此 $c=-2b$。那么等差数列是 $4b,b,-2b$。由于 $4b < b < -2b$，$b < 0$。$c=-2b$ 的最小可能值为 $(-2)(-1)=2$，即 $\boxed{\textbf{(C)}}$ 。

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