AMC12 2013 B

AMC12 2013 B · Q8

AMC12 2013 B · Q8. It mainly tests Linear equations, Coordinate geometry.

Line $\ell_1$ has equation $3x -2y = 1$ and goes through $A = (-1, -2)$. Line $\ell_2$ has equation $y = 1$ and meets line $\ell_1$ at point $B$. Line $\ell_3$ has positive slope, goes through point $A$, and meets $\ell_2$ at point $C$. The area of $\triangle ABC$ is 3. What is the slope of $\ell_3$?

直线 $\ell_1$ 的方程为 $3x -2y = 1$，经过点 $A = (-1, -2)$。直线 $\ell_2$ 的方程为 $y = 1$，与直线 $\ell_1$ 相交于点 $B$。直线 $\ell_3$ 有正斜率，经过点 $A$，与 $\ell_2$ 相交于点 $C$。三角形 $\triangle ABC$ 的面积为 3。求 $\ell_3$ 的斜率。

(A) \frac{2}{3} \frac{2}{3}

(B) \frac{3}{4} \frac{3}{4}

(D) \frac{4}{3} \frac{4}{3}

(E) \frac{3}{2} \frac{3}{2}

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): The solution to the system of equations $3x-2y=1$ and $y=1$ is $B=(x,y)=(1,1)$. The perpendicular distance from $A$ to $BC$ is $3$. The area of $\triangle ABC$ is $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot BC=3$, so $BC=2$. Thus point $C$ is $2$ units to the right or to the left of $B=(1,1)$. If $C=(-1,1)$ then the line $AC$ is vertical and the slope is undefined. If $C=(3,1)$, then the line $AC$ has slope $\dfrac{1-(-2)}{3-(-1)}=\dfrac{3}{4}$.

答案（B）：方程组 $3x-2y=1$ 和 $y=1$ 的解为 $B=(x,y)=(1,1)$。从 $A$ 到 $BC$ 的垂直距离为 $3$。$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot BC=3$，因此 $BC=2$。所以点 $C$ 在 $B=(1,1)$ 的右侧或左侧各 $2$ 个单位处。若 $C=(-1,1)$，则直线 $AC$ 为竖直线，斜率不存在。若 $C=(3,1)$，则直线 $AC$ 的斜率为 $\dfrac{1-(-2)}{3-(-1)}=\dfrac{3}{4}$。

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