AMC12 2013 A

AMC12 2013 A · Q19

AMC12 2013 A · Q19. It mainly tests Circle theorems, Divisibility & factors.

In $\triangle ABC$, $AB=86$, and $AC=97$. A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $BC$ at points $B$ and $X$. Moreover, $BX$ and $CX$ have integer lengths. What is $BC$?

在 $\triangle ABC$ 中，$AB=86$，且 $AC=97$。以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆与 $BC$ 相交于点 $B$ 和 $X$。此外，$BX$ 和 $CX$ 的长度都是整数。求 $BC$ 的长度是多少？

(A) 11 11

(B) 28 28

(D) 61 61

(E) 72 72

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX=AC^2-r^2$ where $r=AB$ is the radius of the circle. Thus $BC\cdot CX=97^2-86^2=2013$. Since $BC=BX+CX$ and $CX$ are both integers, they are complementary factors of 2013. Note that $2013=3\cdot 11\cdot 61$, and $CX<BC<AB+AC=183$. Thus the only possibility is $CX=33$ and $BC=61$.

答案（D）：由点的幂定理，$BC\cdot CX=AC^2-r^2$，其中 $r=AB$ 为圆的半径。因此 $BC\cdot CX=97^2-86^2=2013$。由于 $BC=BX+CX$ 且 $CX$ 与 $BC$ 都是整数，它们是 2013 的一对互补因子。注意 $2013=3\cdot 11\cdot 61$，并且 $CX<BC<AB+AC=183$。因此唯一可能是 $CX=33$ 且 $BC=61$。

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