AMC12 2006 A

AMC12 2006 A · Q19

AMC12 2006 A · Q19. It mainly tests Circle theorems, Coordinate geometry.

Circles with centers $(2,4)$ and $(14,9)$ have radii $4$ and $9$, respectively. The equation of a common external tangent to the circles can be written in the form $y=mx+b$ with $m>0$. What is $b$?

中心分别为 $(2,4)$ 和 $(14,9)$ 的圆分别有半径 $4$ 和 $9$。两个圆的一个公共外切线的方程可写成 $y=mx+b$ 的形式，其中 $m>0$。求 $b$。

(A) \frac{908}{119} \frac{908}{119}

(B) \frac{909}{119} \frac{909}{119}

(D) \frac{911}{119} \frac{911}{119}

(E) \frac{912}{119} \frac{912}{119}

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Let $L_1$ be the line that goes through $(2,4)$ and $(14,9)$, and let $L_2$ be the line $y=mx+b$. If we let $\theta$ be the measure of the acute angle formed by $L_1$ and the x-axis, then $\tan\theta=\frac{5}{12}$. $L_1$ clearly bisects the angle formed by $L_2$ and the x-axis, so $m=\tan{2\theta}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2{\theta}}=\frac{120}{119}$. We also know that $L_1$ and $L_2$ intersect at a point on the x-axis. The equation of $L_1$ is $y=\frac{5}{12}x+\frac{19}{6}$, so the coordinate of this point is $\left(-\frac{38}{5},0\right)$. Hence the equation of $L_2$ is $y=\frac{120}{119}x+\frac{912}{119}$, so $b=\frac{912}{119}$, and our answer choice is $\boxed{\mathrm{E}}$.

设 $L_1$ 为过 $(2,4)$ 与 $(14,9)$ 的直线，设 $L_2$ 为直线 $y=mx+b$。若令 $\theta$ 为 $L_1$ 与 $x$ 轴所成锐角，则 $\tan\theta=\frac{5}{12}$。显然 $L_1$ 平分 $L_2$ 与 $x$ 轴所成的角，因此 $m=\tan{2\theta}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2{\theta}}=\frac{120}{119}$。我们还知道 $L_1$ 与 $L_2$ 交于 $x$ 轴上的一点。$L_1$ 的方程为 $y=\frac{5}{12}x+\frac{19}{6}$，所以该点坐标为 $\left(-\frac{38}{5},0\right)$。因此 $L_2$ 的方程为 $y=\frac{120}{119}x+\frac{912}{119}$，所以 $b=\frac{912}{119}$，答案为 $\boxed{\mathrm{E}}$。

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