AMC12 2006 A

AMC12 2006 A · Q15

AMC12 2006 A · Q15. It mainly tests Manipulating equations, Trigonometry (basic).

Suppose $\cos x=0$ and $\cos (x+z)=1/2$. What is the smallest possible positive value of $z$?

设 $\cos x=0$ 且 $\cos (x+z)=1/2$。$z$ 的最小可能正值是多少？

(A) $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{6}$

(B) $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{3}$

(D) $\frac{5\pi}{6}$ $\frac{5\pi}{6}$

(E) $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{7\pi}{6}$

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

- For $\cos x = 0$, x must be in the form of $\frac{\pi}{2} + \pi n$, where $n$ denotes any integer. - For $\cos (x+z) = 1 / 2$, $x + z = \frac{\pi}{3} +2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$. The smallest possible value of $z$ will be that of $\frac{5\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \mathrm{(A)}$.

- 由 $\cos x = 0$，可知 $x$ 必须形如 $\frac{\pi}{2} + \pi n$，其中 $n$ 为任意整数。 - 由 $\cos (x+z) = 1 / 2$，可知 $x + z = \frac{\pi}{3} +2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$。 $z$ 的最小可能值为 $\frac{5\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \mathrm{(A)}$。

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