AMC12 2003 B

AMC12 2003 B · Q14

AMC12 2003 B · Q14. It mainly tests Similarity, Coordinate geometry.

In rectangle $ABCD, AB=5$ and $BC=3$. Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF=1$ and $GC=2$. Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E$. Find the area of $\triangle AEB$.

在矩形 $ABCD$ 中，$AB=5$ 且 $BC=3$。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CD}$ 上，使得 $DF=1$ 且 $GC=2$。直线 $AF$ 与 $BG$ 相交于点 $E$。求 $\triangle AEB$ 的面积。

(A) 10 10

(B) \frac{21}{2} \frac{21}{2}

(D) \frac{25}{2} \frac{25}{2}

(E) 15 15

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

$\triangle EFG \sim \triangle EAB$ because $FG \parallel AB.$ The ratio of $\triangle EFG$ to $\triangle EAB$ is $2:5$ since $AB=5$ and $FG=2$ from subtraction. If we let $h$ be the height of $\triangle EAB,$ \[\frac{2}{5} = \frac{h-3}{h}\] \[2h = 5h-15\] \[3h = 15\] \[h = 5\] The height is $5$ so the area of $\triangle EAB$ is $\frac{1}{2}(5)(5) = \boxed{\textbf{(D)}\ \frac{25}{2}}$.

因为 $FG \parallel AB$，所以 $\triangle EFG \sim \triangle EAB$。由 $AB=5$ 且由减法得 $FG=2$，可知 $\triangle EFG$ 与 $\triangle EAB$ 的比为 $2:5$。设 $h$ 为 $\triangle EAB$ 的高，则 \[\frac{2}{5} = \frac{h-3}{h}\] \[2h = 5h-15\] \[3h = 15\] \[h = 5\] 高为 $5$，所以 $\triangle EAB$ 的面积为 $\frac{1}{2}(5)(5) = \boxed{\textbf{(D)}\ \frac{25}{2}}$。

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