AMC12 2003 A

AMC12 2003 A · Q9

AMC12 2003 A · Q9. It mainly tests Transformations, Symmetry.

A set $S$ of points in the $xy$-plane is symmetric about the origin, both coordinate axes, and the line $y=x$. If $(2,3)$ is in $S$, what is the smallest number of points in $S$?

在 $xy$ 平面上的点集 $S$ 关于原点、两条坐标轴以及直线 $y=x$ 都对称。若 $(2,3)$ 在 $S$ 中，则 $S$ 中点的最小个数是多少？

(A) 1 1

(B) 2 2

(D) 8 8

(E) 16 16

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

If $(2,3)$ is in $S$, then its reflection in the line $y = x$, i.e. $(3,2)$, is also in $S$. Now by reflecting these points in both coordinate axes, we quickly deduce that every point of the form $(\pm 2, \pm 3)$ or $(\pm 3, \pm 2)$ must be in $S$. Moreover, by drawing out this set of $8$ points, we observe that it satisfies all of the required symmetry conditions, so no more points need to be added to $S$. Accordingly, the smallest possible number of points in $S$ is precisely $\boxed{\mathrm{(D)}\ 8}$.

若 $(2,3)$ 在 $S$ 中，则它关于直线 $y = x$ 的对称点，即 $(3,2)$，也在 $S$ 中。再将这些点分别关于两条坐标轴对称，我们很快可推出所有形如 $(\pm 2, \pm 3)$ 或 $(\pm 3, \pm 2)$ 的点都必须在 $S$ 中。此外，把这 $8$ 个点画出来可观察到它们满足所有所需的对称条件，因此不需要再向 $S$ 中添加更多点。于是，$S$ 中点的最小可能个数为 $\boxed{\mathrm{(D)}\ 8}$。

Topics