AMC12 2001 A

AMC12 2001 A · Q22

AMC12 2001 A · Q22. It mainly tests Similarity, Coordinate geometry.

In rectangle $ABCD$, points $F$ and $G$ lie on $AB$ so that $AF=FG=GB$ and $E$ is the midpoint of $\overline{DC}$. Also, $\overline{AC}$ intersects $\overline{EF}$ at $H$ and $\overline{EG}$ at $J$. The area of the rectangle $ABCD$ is $70$. Find the area of triangle $EHJ$.

在矩形 $ABCD$ 中，点 $F$ 和 $G$ 在 $AB$ 上，使得 $AF=FG=GB$，且 $E$ 是 $\overline{DC}$ 的中点。另有 $\overline{AC}$ 与 $\overline{EF}$ 交于 $H$，与 $\overline{EG}$ 交于 $J$。矩形 $ABCD$ 的面积为 $70$。求三角形 $EHJ$ 的面积。

(A) $\frac{5}{2}$ $\frac{5}{2}$

(B) $\frac{35}{12}$ $\frac{35}{12}$

(D) $\frac{7}{2}$ $\frac{7}{2}$

(E) $\frac{35}{8}$ $\frac{35}{8}$

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

Note that the triangles $AFH$ and $CEH$ are similar, as they have the same angles. Hence $\frac {AH}{HC} = \frac{AF}{EC} = \frac 23$. Also, triangles $AGJ$ and $CEJ$ are similar, hence $\frac {AJ}{JC} = \frac {AG}{EC} = \frac 43$. We can now compute $[EHJ]$ as $[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]$. We have: - $[ACD]=\frac{[ABCD]}2 = 35$. - $[AHD]$ is $2/5$ of $[ACD]$, as these two triangles have the same base $AD$, and $AH$ is $2/5$ of $AC$, therefore also the height from $H$ onto $AD$ is $2/5$ of the height from $C$. Hence $[AHD]=14$. - $[HED]$ is $3/10$ of $[ACD]$, as the base $ED$ is $1/2$ of the base $CD$, and the height from $H$ is $3/5$ of the height from $A$. Hence $[HED]=\frac {21}2$. - $[JEC]$ is $3/14$ of $[ACD]$ for similar reasons, hence $[JEC]=\frac{15}2$. Therefore $[EHJ]=[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]=35-14-\frac {21}2-\frac{15}2 = \boxed{3}$.

注意到三角形 $AFH$ 与 $CEH$ 相似，因为它们有相同的角。故 $\frac {AH}{HC} = \frac{AF}{EC} = \frac 23$。同样，三角形 $AGJ$ 与 $CEJ$ 相似，因此 $\frac {AJ}{JC} = \frac {AG}{EC} = \frac 43$。现在可计算 $[EHJ]$ 为 $[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]$。有： - $[ACD]=\frac{[ABCD]}2 = 35$。 - $[AHD]$ 是 $[ACD]$ 的 $2/5$，因为这两个三角形底边同为 $AD$，且 $AH$ 是 $AC$ 的 $2/5$，因此从 $H$ 到 $AD$ 的高也为从 $C$ 到 $AD$ 的高的 $2/5$。故 $[AHD]=14$。 - $[HED]$ 是 $[ACD]$ 的 $3/10$，因为底边 $ED$ 是 $CD$ 的 $1/2$，且从 $H$ 的高是从 $A$ 的高的 $3/5$。故 $[HED]=\frac {21}2$。 - $[JEC]$ 由于类似原因是 $[ACD]$ 的 $3/14$，因此 $[JEC]=\frac{15}2$。因此 $[EHJ]=[ACD]-[AHD]-[DEH]-[EJC]=35-14-\frac {21}2-\frac{15}2 = \boxed{3}$。

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