AMC12 2000 A

AMC12 2000 A · Q7

AMC12 2000 A · Q7. It mainly tests Logarithms (rare), Primes & prime factorization.

How many positive integers $b$ have the property that $\log_{b} 729$ is a positive integer?

有多少个正整数 $b$ 满足 $\log_{b} 729$ 是一个正整数？

(A) 0 0

(B) 1 1

(D) 3 3

(E) 4 4

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

If $\log_{b} 729 = n$, then $b^n = 729$. Since $729 = 3^6$, $b$ must be $3$ to some factor of 6. Thus, there are four (3, 9, 27, 729) possible values of $b \Longrightarrow \boxed{\mathrm{E}}$.

若 $\log_{b} 729 = n$，则 $b^n = 729$。由于 $729 = 3^6$，$b$ 必须是 $3$ 的某个指数为 6 的因子的幂。因此，$b$ 有四种可能取值（3、9、27、729）$\Longrightarrow \boxed{\mathrm{E}}$。

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