AMC12 2000 A

AMC12 2000 A · Q10

AMC12 2000 A · Q10. It mainly tests Coordinate geometry, Transformations.

The point $P = (1,2,3)$ is reflected in the $xy$-plane, then its image $Q$ is rotated by $180^\circ$ about the $x$-axis to produce $R$, and finally, $R$ is translated by 5 units in the positive-$y$ direction to produce $S$. What are the coordinates of $S$?

点 $P = (1,2,3)$ 先关于 $xy$ 平面反射得到其像 $Q$，再将 $Q$ 绕 $x$ 轴旋转 $180^\circ$ 得到 $R$，最后将 $R$ 沿正 $y$ 方向平移 5 个单位得到 $S$。求 $S$ 的坐标。

(A) $(1,7,-3)$ $(1,7,-3)$

(B) $(-1,7,-3)$ $(-1,7,-3)$

(D) $(-1,3,3)$ $(-1,3,3)$

(E) $(1,3,3)$ $(1,3,3)$

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Step 1: Reflect in the $xy$-plane. Replace $z$ with its additive inverse: $(1,2,-3)$ Step 2: Rotate around $x$-axis 180 degrees. Replace $y$ and $z$ with their respective additive inverses. $(1, -2, 3)$ Step 3: Translate $5$ units in positive-$y$ direction. Replace $y$ with $y+5$. $(1,3,3) \Rightarrow \text {(E) }$

步骤 1：关于 $xy$ 平面反射。将 $z$ 替换为其加法逆元：$(1,2,-3)$ 步骤 2：绕 $x$ 轴旋转 180 度。将 $y$ 和 $z$ 分别替换为各自的加法逆元：$(1, -2, 3)$ 步骤 3：沿正 $y$ 方向平移 $5$ 个单位。将 $y$ 替换为 $y+5$：$(1,3,3) \Rightarrow \text {(E) }$

Topics