AMC10 2024 A

AMC10 2024 A · Q15

AMC10 2024 A · Q15. It mainly tests Primes & prime factorization, GCD & LCM.

Let $M$ be the greatest integer such that both $M+1213$ and $M+3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M$?

设 $M$ 是最大的整数，使得 $M+1213$ 和 $M+3773$ 均为完全平方数。$M$ 的个位数是多少？

(A) 1 1

(B) 2 2

(D) 6 6

(E) 8 8

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Let $M+1213=P^2$ and $M+3773=Q^2$ for some positive integers $P$ and $Q.$ We subtract the first equation from the second, then apply the difference of squares: \[(Q+P)(Q-P)=2560.\] Note that $Q+P$ and $Q-P$ have the same parity, and $Q+P>Q-P.$ We wish to maximize both $P$ and $Q,$ so we maximize $Q+P$ and minimize $Q-P.$ It follows that \begin{align*} Q+P&=1280, \\ Q-P&=2, \end{align*} from which $(P,Q)=(639,641).$ Finally, we get $M=P^2-1213=Q^2-3773\equiv1-3\equiv8\pmod{10},$ so the units digit of $M$ is $\boxed{\textbf{(E) }8}.$

设 $M+1213=P^2$ 和 $M+3773=Q^2$，其中 $P$ 和 $Q$ 为正整数。将第二个方程减去第一个，然后应用平方差： \[(Q+P)(Q-P)=2560.\] 注意 $Q+P$ 和 $Q-P$ 同奇偶，且 $Q+P>Q-P$。为使 $P$ 和 $Q$ 最大化，最大化 $Q+P$ 并最小化 $Q-P$。因此 \begin{align*} Q+P&=1280, \\ Q-P&=2, \end{align*} 由此得 $(P,Q)=(639,641)$。最后，$M=P^2-1213=Q^2-3773\equiv1-3\equiv8\pmod{10}$，故 $M$ 的个位数为 $\boxed{\textbf{(E) }8}$。

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