AMC10 2024 A

AMC10 2024 A · Q11

AMC10 2024 A · Q11. It mainly tests Quadratic equations, Primes & prime factorization.

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy $\sqrt{n^2 - 49} = m$?

有几个整数有序对 $(m, n)$ 满足 $\sqrt{n^2 - 49} = m$？

(A) 1 1

(B) 2 2

(D) 4 4

(E) \text{infinitely many} \text{infinitely many}

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Note that $m$ is a nonnegative integer. We square, rearrange, and apply the difference of squares formula to the given equation: \[(n+m)(n-m)=49.\] It is clear that $n+m\geq n-m,$ so $(n+m,n-m)=(49,1),(7,7),(-7,-7),(-1,-49).$ Each ordered pair $(n+m,n-m)$ gives one ordered pair $(m,n),$ so there are $\boxed{\textbf{(D)}~4}$

注意 $m$ 是非负整数。我们对给定的方程平方、重排，并应用平方差公式： \[(n+m)(n-m)=49.\] 显然 $n+m\geq n-m$，因此 $(n+m,n-m)=(49,1),(7,7),(-7,-7),(-1,-49)$。每个有序对 $(n+m,n-m)$ 对应一个有序对 $(m,n)$，因此有 $\boxed{\textbf{(D)}~4}$。

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