AMC10 2016 B

AMC10 2016 B · Q19

AMC10 2016 B · Q19. It mainly tests Similarity, Coordinate geometry.

Rectangle $ABCD$ has $\overline{AB}=5$ and $\overline{BC}=4$. Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $\overline{EB}=1$, point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $\overline{CG}=1$, and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $\overline{DF}=2$. Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P$, respectively. What is the value of $\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{EF}}$?

矩形 $ABCD$ 满足 $\overline{AB}=5$ 且 $\overline{BC}=4$。点 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{EB}=1$；点 $G$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{CG}=1$；点 $F$ 在 $\overline{CD}$ 上，且 $\overline{DF}=2$。线段 $\overline{AG}$ 与 $\overline{AC}$ 分别与 $\overline{EF}$ 相交于 $Q$ 和 $P$。求 $\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{EF}}$ 的值。

(A) $\frac{\sqrt{3}}{16}$ $\frac{\sqrt{3}}{16}$

(B) $\frac{\sqrt{2}}{13}$ $\frac{\sqrt{2}}{13}$

(D) $\frac{10}{91}$ $\frac{10}{91}$

(E) $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{9}$

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): Triangles $AEP$ and $CFP$ are similar and $FP:EP=CF:AE=3:4$, so $FP=\frac{3}{7}EF$. Extend $AG$ and $FC$ to meet at point $H$; then $\triangle AEQ$ and $\triangle HFQ$ are similar. Note that $\triangle HCG$ and $\triangle ABG$ are similar with sides in a ratio of $1:3$, so $CH=\frac{1}{3}\cdot 5$ and $FH=3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}$. Then $FQ:EQ=\frac{14}{3}:4=7:6$, so $FQ=\frac{7}{13}FE$. Thus $PQ=FQ-FP=\left(\frac{7}{13}-\frac{3}{7}\right)FE=\frac{10}{91}FE$ and $\frac{PQ}{FE}=\frac{10}{91}$.

答案（D）：三角形 $AEP$ 与 $CFP$ 相似，且 $FP:EP=CF:AE=3:4$，所以 $FP=\frac{3}{7}EF$。延长 $AG$ 与 $FC$ 交于点 $H$；则 $\triangle AEQ$ 与 $\triangle HFQ$ 相似。注意到 $\triangle HCG$ 与 $\triangle ABG$ 相似，边长比为 $1:3$，所以 $CH=\frac{1}{3}\cdot 5$，并且 $FH=3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}$。于是 $FQ:EQ=\frac{14}{3}:4=7:6$，所以 $FQ=\frac{7}{13}FE$。因此 $PQ=FQ-FP=\left(\frac{7}{13}-\frac{3}{7}\right)FE=\frac{10}{91}FE$，且 $\frac{PQ}{FE}=\frac{10}{91}$。

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