AMC10 2010 B

AMC10 2010 B · Q14

AMC10 2010 B · Q14. It mainly tests Linear equations, Averages (mean).

The average of the numbers $1,2,3,\dots,98,99,$ and $x$ is $100x$. What is $x$?

数 $1,2,3,\dots,98,99,$ 和 $x$ 的平均数是 $100x$。求 $x$。

(A) $\frac{49}{101}$ $\frac{49}{101}$

(B) $\frac{50}{101}$ $\frac{50}{101}$

(D) $\frac{51}{101}$ $\frac{51}{101}$

(E) $\frac{50}{99}$ $\frac{50}{99}$

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): The average of the numbers is \[ \frac{1+2+\cdots+99+x}{100}=\frac{\frac{99\cdot100}{2}+x}{100}=\frac{99\cdot50+x}{100}=100x. \] This equation is equivalent to $9999x=(99\cdot101)x=99\cdot50$, so $x=\frac{50}{101}$.

答案（B）：这些数的平均值为 \[ \frac{1+2+\cdots+99+x}{100}=\frac{\frac{99\cdot100}{2}+x}{100}=\frac{99\cdot50+x}{100}=100x. \] 该方程等价于 $9999x=(99\cdot101)x=99\cdot50$，因此 $x=\frac{50}{101}$。

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