AMC10 2010 B

AMC10 2010 B · Q13

AMC10 2010 B · Q13. It mainly tests Absolute value, Manipulating equations.

What is the sum of all the solutions of $x=|2x-|60-2x||$?

求方程 $x=|2x-|60-2x||$ 所有解之和。

(A) 32 32

(B) 60 60

(D) 120 120

(E) 124 124

Answer

Correct choice: (C)

正确答案：（C）

Solution

If $60-2x>0$, then $|2x-|60-2x||=|4x-60|$. Solving $x=4x-60$ and $x=-(4x-60)$ results in $x=20$ and $x=12$, respectively, both of which satisfy the original equation. If $60-2x<0$, then $|2x-|60-2x||=|2x+60-2x|=60$. Note that $x=60$ satisfies the original equation. The sum of the solutions is $12+20+60=92$.

若 $60-2x>0$，则 $|2x-|60-2x||=|4x-60|$。解 $x=4x-60$ 得 $x=20$，$x=-(4x-60)$ 得 $x=12$，两者均满足原方程。若 $60-2x<0$，则 $|2x-|60-2x||=|2x+60-2x|=60$。注意 $x=60$ 满足原方程。解的和为 $12+20+60=92$。

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