AMC10 2010 A

AMC10 2010 A · Q21

AMC10 2010 A · Q21. It mainly tests Vieta / quadratic relationships (basic), Primes & prime factorization.

The polynomial $x^3 - a x^2 + b x - 2010$ has three positive integer zeros. What is the smallest possible value of $a$?

多项式 $x^3 - a x^2 + b x - 2010$ 有三个正整数零点。$a$ 的最小可能值为多少？

(A) 78 78

(B) 88 88

(D) 108 108

(E) 118 118

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): Let the polynomial be $(x-r)(x-s)(x-t)$ with $0<r\le s\le t$. Then $rst=2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$, and $r+s+t=a$. If $t=67$, then $rs=30$, and $r+s$ is minimized when $r=5$ and $s=6$. In that case $a=67+5+6=78$. If $t\ne67$, then $a>t\ge2\cdot67=134$, so the minimum value of $a$ is $78$.

答案（A）：设多项式为$(x-r)(x-s)(x-t)$，其中$0<r\le s\le t$。则$rst=2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$，且$r+s+t=a$。若$t=67$，则$rs=30$，并且当$r=5$、$s=6$时$r+s$取最小值。此时$a=67+5+6=78$。若$t\ne67$，则$a>t\ge2\cdot67=134$，因此$a$的最小值为$78$。

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