AMC10 2009 A

AMC10 2009 A · Q16

AMC10 2009 A · Q16. It mainly tests Absolute value, Manipulating equations.

Let $a, b, c,$ and $d$ be real numbers with $|a - b| = 2$, $|b - c| = 3$, and $|c - d| = 4$. What is the sum of all possible values of $|a - d|$?

设 $a, b, c,$ 和 $d$ 是实数，且 $|a - b| = 2$，$|b - c| = 3$，$|c - d| = 4$。所有可能的 $|a - d|$ 的值之和是多少？

(A) 9 9

(B) 12 12

(D) 18 18

(E) 24 24

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

Answer (D): The given conditions imply that $b=a\pm2$, $c=b\pm3=a\pm2\pm3$, and $d=c\pm4=a\pm2\pm3\pm4$, where the signs can be combined in all possible ways. Therefore the possible values of $\lvert a-d\rvert$ are $2+3+4=9$, $2+3-4=1$, $2-3+4=3$, and $-2+3+4=5$. The sum of all possible values of $\lvert a-d\rvert$ is $9+1+3+5=18$.

答案（D）：给定条件推出 $b=a\pm2$，$c=b\pm3=a\pm2\pm3$，以及 $d=c\pm4=a\pm2\pm3\pm4$，其中正负号可以以所有可能的方式组合。因此 $\lvert a-d\rvert$ 的可能取值为 $2+3+4=9$、$2+3-4=1$、$2-3+4=3$、$-2+3+4=5$。所有可能的 $\lvert a-d\rvert$ 之和为 $9+1+3+5=18$。

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