AMC10 2008 B

AMC10 2008 B · Q10

AMC10 2008 B · Q10. It mainly tests Pythagorean theorem, Circle theorems.

Points A and B are on a circle of radius 5 and AB = 6. Point C is the midpoint of the minor arc AB. What is the length of the line segment AC?

点 A 和 B 在半径为 5 的圆上，且 AB = 6。点 C 是较小弧 AB 的中点。线段 AC 的长度是多少？

(A) \sqrt{10} \sqrt{10}

(B) \frac{7}{2} \frac{7}{2}

(D) \sqrt{15} \sqrt{15}

(E) 4 4

Answer

Correct choice: (A)

正确答案：（A）

Solution

Answer (A): Let $O$ be the center of the circle, and let $D$ be the intersection of $OC$ and $AB$. Because $OC$ bisects minor arc $AB$, $OD$ is a perpendicular bisector of chord $AB$. Hence $AD=3$, and applying the Pythagorean Theorem to $\triangle ADO$ yields $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Therefore $DC=1$, and applying the Pythagorean Theorem to $\triangle ADC$ yields $AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

答案（A）：设 $O$ 为圆心，$D$ 为 $OC$ 与 $AB$ 的交点。由于 $OC$ 平分小弧 $AB$，所以 $OD$ 是弦 $AB$ 的垂直平分线。因此 $AD=3$，对 $\triangle ADO$ 应用勾股定理得 $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4$。于是 $DC=1$，再对 $\triangle ADC$ 应用勾股定理得 $AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。

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