AMC10 2005 A

AMC10 2005 A · Q22

AMC10 2005 A · Q22. It mainly tests Money / coins, GCD & LCM.

Let $S$ be the set of the 2005 smallest positive multiples of 4, and let $T$ be the set of the 2005 smallest positive multiples of 6. How many elements are common to $S$ and $T$?

令$S$为2005个最小的正4的倍数的集合，$T$为2005个最小的正6的倍数的集合。$S$与$T$有多少个公共元素？

(A) 166 166

(B) 333 333

(D) 668 668

(E) 1001 1001

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

(D) The sets $S$ and $T$ consist, respectively, of the positive multiples of $4$ that do not exceed $2005\cdot 4=8020$ and the positive multiples of $6$ that do not exceed $2005\cdot 6=12,030$. Thus $S\cap T$, the set of numbers that are common to $S$ and to $T$, consists of the positive multiples of $12$ that do not exceed $8020$. Let $[x]$ represent the largest integer that is less than or equal to $x$. Then the number of elements in the set $S\cap T$ is $$\left[\frac{8020}{12}\right]=\left[668+\frac{1}{3}\right]=668.$$

(D) 集合 $S$ 和 $T$ 分别由不超过 $2005\cdot 4=8020$ 的 $4$ 的正倍数组成，以及不超过 $2005\cdot 6=12,030$ 的 $6$ 的正倍数组成。因此，$S\cap T$（同时属于 $S$ 和 $T$ 的数的集合）由不超过 $8020$ 的 $12$ 的正倍数组成。令 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数（即向下取整）。则集合 $S\cap T$ 中元素的个数为 $$\left[\frac{8020}{12}\right]=\left[668+\frac{1}{3}\right]=668.$$

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