AMC10 2003 B

AMC10 2003 B · Q14

AMC10 2003 B · Q14. It mainly tests Primes & prime factorization, Counting divisors.

Given that $3^8 \cdot 5^2 = ab$, where both $a$ and $b$ are positive integers, find the smallest possible value for $a + b$.

已知 $3^8 \cdot 5^2 = ab$，其中 $a$ 和 $b$ 均为正整数，求 $a + b$ 的最小可能值。

(A) 25 25

(B) 34 34

(D) 407 407

(E) 900 900

Answer

Correct choice: (D)

正确答案：（D）

Solution

(D) Since $a$ must be divisible by 5, and $3^8\cdot 5^2$ is divisible by $5^2$ but not by $5^3$, we have $b\le 2$. If $b=1$, then \[ a^b=(3^8 5^2)^1=(164,025)^1 \] and $a+b=164,026$. If $b=2$, then \[ a^b=(3^4 5)^2=405^2 \] so $a+b=407$, which is the smallest value.

（D）由于 $a$ 必须能被 5 整除，并且 $3^8\cdot 5^2$ 能被 $5^2$ 整除但不能被 $5^3$ 整除，所以 $b\le 2$。若 $b=1$，则 \[ a^b=(3^8 5^2)^1=(164,025)^1 \] 且 $a+b=164,026$。若 $b=2$，则 \[ a^b=(3^4 5)^2=405^2 \] 因此 $a+b=407$，这是最小值。

Topics