AMC10 2002 B

AMC10 2002 B · Q15

AMC10 2002 B · Q15. It mainly tests Primes & prime factorization, Parity (odd/even).

The positive integers $A$, $B$, $A - B$, and $A + B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

正整数$A$、$B$、$A-B$和$A+B$都是素数。这四个素数的和是

(A) even 偶数

(B) divisible by 3 被3整除

(D) divisible by 7 被7整除

(E) prime 素数

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

(E) The numbers $A-B$ and $A+B$ are both odd or both even. However, they are also both prime, so they must both be odd. Therefore, one of $A$ and $B$ is odd and the other even. Because $A$ is a prime between $A-B$ and $A+B$, $A$ must be the odd prime. Therefore, $B=2$, the only even prime. So $A-2$, $A$, and $A+2$ are consecutive odd primes and thus must be 3, 5, and 7. The sum of the four primes 2, 3, 5, and 7 is the prime number 17.

（E）数 $A-B$ 和 $A+B$ 要么同为奇数，要么同为偶数。然而它们也都是素数，因此它们必须都为奇数。所以 $A$ 与 $B$ 其中一个是奇数，另一个是偶数。因为 $A$ 是介于 $A-B$ 与 $A+B$ 之间的一个素数，所以 $A$ 必须是奇素数。因此 $B=2$，唯一的偶素数。于是 $A-2$、$A$、$A+2$ 是连续的奇素数，因此只能是 3、5、7。四个素数 2、3、5、7 的和是素数 17。

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