AMC10 2002 A

AMC10 2002 A · Q14

AMC10 2002 A · Q14. It mainly tests Quadratic equations, Divisibility & factors.

Both roots of the quadratic equation $x^2 - 63x + k = 0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

二次方程 $x^2 - 63x + k = 0$ 的两个根均为素数。$k$ 的可能值的个数是

(A) 0 0

(B) 1 1

(D) 4 4

(E) more than four 超过四个

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

(B) Let $p$ and $q$ be two primes that are roots of $x^2-63x+k=0$. Then $$x^2-63x+k=(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+p\cdot q,$$ so $p+q=63$ and $p\cdot q=k$. Since 63 is odd, one of the primes must be 2 and the other 61. Thus, there is exactly one possible value for $k$, namely $k=p\cdot q=2\cdot61=122$.

（B）设 $p$ 和 $q$ 为方程 $x^2-63x+k=0$ 的两个素数根。则 $$x^2-63x+k=(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+p\cdot q,$$ 因此 $p+q=63$ 且 $p\cdot q=k$。由于 63 是奇数，其中一个素数必为 2，另一个为 61。故 $k$ 只有一个可能值，即 $k=p\cdot q=2\cdot61=122$。

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