AMC10 2000 A

AMC10 2000 A · Q24

AMC10 2000 A · Q24. It mainly tests Quadratic equations, Manipulating equations.

Let $f$ be a function for which $f(x/3) = x^2 + x + 1$. Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7$.

设 $f$ 是一个函数，使得 $f(x/3) = x^2 + x + 1$。求所有满足 $f(3z) = 7$ 的 $z$ 的值之和。

(A) -$\frac{1}{3}$ -$\frac{1}{3}$

(B) -$\frac{1}{9}$ -$\frac{1}{9}$

(D) $\frac{5}{9}$ $\frac{5}{9}$

(E) $\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$

Answer

Correct choice: (B)

正确答案：（B）

Solution

Answer (B): Let $x=9z$. Then $f(3z)=f(9z/3)=f(3z)=(9z)^2+9z+1=7$. Simplifying and solving the equation for $z$ yields $81z^2+9z-6=0$, so $3(3z+1)(9z-2)=0$. Thus $z=-1/3$ or $z=2/9$. The sum of these values is $-1/9$. Note. The answer can also be obtained by using the sum-of-roots formula on $81z^2+9z-6=0$. The sum of the roots is $-9/81=-1/9$.

答案（B）：令 $x=9z$。则 $f(3z)=f(9z/3)=f(3z)=(9z)^2+9z+1=7$。化简并解关于 $z$ 的方程得 $81z^2+9z-6=0$，因此 $3(3z+1)(9z-2)=0$。所以 $z=-1/3$ 或 $z=2/9$。这些值的和为 $-1/9$。注：也可以对 $81z^2+9z-6=0$ 使用根和公式得到答案。两根之和为 $-9/81=-1/9$。

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