AMC10 2000 A

AMC10 2000 A · Q15

AMC10 2000 A · Q15. It mainly tests Linear equations, Rational expressions.

Two non-zero real numbers, a and b, satisfy $ab = a - b$. Find a possible value of $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab$.

两个非零实数$a$和$b$满足$ab=a-b$。求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab$的一个可能值。

(A) -2 -2

(B) -$\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

(E) 2 2

Answer

Correct choice: (E)

正确答案：（E）

Solution

Answer (E): Find the common denominator and replace the $ab$ in the numerator with $a-b$ to get $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab=\frac{a^2+b^2-(ab)^2}{ab}$ $=\frac{a^2+b^2-(a-b)^2}{ab}$ $=\frac{a^2+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{ab}$ $=\frac{2ab}{ab}=2.$

答案（E）：求出公分母，并将分子中的 $ab$ 用 $a-b$ 替换，得到 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-ab=\frac{a^2+b^2-(ab)^2}{ab}$ $=\frac{a^2+b^2-(a-b)^2}{ab}$ $=\frac{a^2+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{ab}$ $=\frac{2ab}{ab}=2.$

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